Если бесконечно большое число умножить на бесконечно малое, стремящееся к нулю, будет ли их произведение стремиться к 0?
В школьном курсе при нахождении производных принято, если h стремиться к 0, то и kh - к 0, например, если h стрем. к 0, то считаем, что 2h - к 0. Но если k - бесконечно большое, то будет ли оно стремиться к 0? Если миллиард умножить на одну миллиардную, будет 1. Ведь бесконечно малое и бесконечно большое, хоть и не определены (они самые нелокализованные абстракции), это величины одного "качества", но отличающиеся знаком полярности в системе "бесконечно малое - бесконечно большое", т е их отношения такие же как у числа и его дроби с числителем 1. Одна оху.. иардная есть самая маленькая частичка от этого оху.. арда. Такая логика, конечно, спорная. Что по этому поводу говорит наука?
Число не может ни быть бесконечно большим, ни стремиться к чему-то. Число - конечная величина. Стремиться может функция как к бесконечности, так и к нулю. Что получается в результате умножения функции, стремящейся к бесконечности на функцию, стремящуюся к нулю, изучают в разделе математики, называющемся математическим анализом. Но так или иначе, результатом умножения функции на функцию будет тоже функция. А к чему она будет стремиться, заранее сказать в общем случае невозможно, вариантов много.
это классическая неопределённость. МОЖЕТ быть что угодно, в том числе и 0 и бесконечность.
Зависит от функций, которые придают этим числам "стремления". Стремление к пределу может иметь разную интенсивность - ну как график "квадрата" и график "куба" с разной скоростью стремятся к бесконечности. Думаю, результат будет зависеть от этого. Если функции разные, результат будет стремиться либо к нулю, либо к бесконечности, а если одинаковые, то результат будет неопределенным. Имхо :-)
Чтобы не возникало таких вопросов, математики придумали пределы.
Пусть у нас есть 2 функции:
f(x)=x+1
g(x)=x^-1
Очевидно, что при x стремящемуся к бесконечности, первая будет равна бесконечности, вторая - 0. А теперь найде, чему же будет равно твое произведение:
lim (x+1)/x = 1
x->∞
Внезапненько, да?
С другими функциями будут другие результаты - может быть и 0, и бесконечность, и некое число, и неопределенность.
В классической теории чисел нет понятия бесконечно больших и бесконечно малых чисел !
Б. б. и б. м. могут быть только переменные при стремлении какой-то переменной, от которой они зависят, к какому-то числу.