Целые числа, записанные в виде дроби например две вторых, считаются действительными в

Смотрите, что Вы написали. Цитирую Вам — Вас же. Только процитирую я Вас Вам же в обратном порядке.

1. "две вторых"
2. "записанные в виде дроби".

Это то, что Вы сформулировали из Вашей интуиции. А теперь попробуем проанализировать Ваши интуитивные утверждения.

1. "две вторых":

а) Вы упомянули _пару_ чисел — "2" и "2"
б) Эти числа обладают интересным свойством: они целые

2. "записанные в виде дроби"

а) То есть, в упомянутой паре есть числитель и знаменатель
б) Очевидно, что 2/2 эквивалентно записи 3/3, 4/4 и т. д.

Итак, Вы на частном примере задали упорядоченную пару (a,b) с отношением эквивалентности (a,b) ~ (c,d) таким, что a * d = b * c

Проверим для Вашего частного примера и моего дополнительного assertio:

(2,2) ~ (3,3) → 2 * 3 = 2 * 3 → 6 = 6 — отношение соблюдатеся.

Рассмотрим другой пример:

(1,2) ~ (3,6) → 1 * 6 = 2 * 3 → 6 = 6 — отношение соблюдается.

Сконструированные таким образом числа называются числами РАЦИОНАЛЬНЫМИ и у Бурбаки обозначаются буквой Q от итальянского Quoziente — "соотношение".

Действительные же или вещественные числа обозначаются буквой R ( фр. nombre réel, англ. Real Number, ит. Numero reale, исп. Número real, порт. Número real, нем. Reelle Zahl). "Действительные числа" — термин московской математической школы, "вещественные числа" — термин санкт-петербургской математической школы. В киевской математической школе, сходно с московской, — дійсне число.

Под действительными числами в наивном определении понимают объединение множеств рациональных чисел и иррациональных чисел.

Иррациональные же числа по наивному же определению — бесконечная десятичная дробь.

В общем случае действительные числа конструируются через дедекиндовы сечения, пределы фундаментальных последовательностей и др.

Отличительная черта иррациональных чисел: их нельзя записать через ту же конструкцию, что и рациональные числа. То есть, числа log(5), sqrt(2), cbrt(7), e, π, Φ, φ , τ и т. д. невозможно представить в виде дроби (хотя можно найти хорошие рациональные приближения).