Дискретная математика (Группы и поля)
1. Выяснить, является ли группой относительно умножения множество чисел вида Q[√5] = {a + b√5 | a, b ∈ Q, a^2 + b^2 не = 0}.
Если нет, указать какие аксиомы поля выполняются, а какие нет.
2. Проверить, будет ли полем множество пар действительных чисел R^2 с следующими операциями сложения и умножения: для любых (a1, b1),(a2, b2) ∈ R^2
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), (a1, b1) · (a2, b2) = (a1a2 + 3b1b2, a1b2 + a2b1)
Если нет, указать какие аксиомы поля выполняются, а какие нет.
1. Надо проверить:
- произведение двух чисел данного вида есть число данного вида
- ассоциативность верна, так как она верна в объемлющей множестве R
- единичный элемент 1
- обратный элемент а+b√5 -> (a-b√5)/(a^2-5b^2)
Значит, это - группа.
-----
2. Данное множество является абелевой группой по сложению (легко проверяется).
А что по умножению?
Коммутативность - верна
Единичный элемент есть - (1,0)
Обратный элемент скорее всего тоже есть - надо решить систему двух уравнений
Ассоциативность надо аккуратненько проверить
Дистрибутивность вроде бы как верна
Короче, если вот это все выполнено, то данное множество - поле.
