Производные 2 порядка функции нескольких переменных

Мне преподаватель в институте сказал, что производная
d2z/(dxdy) НЕ ВСЕГДА равна d2z/(dydx).
Может кто-нибудь привести пример функции двух переменных, у которой эти производные
НЕ РАВНЫ друг другу?
Или наоборот, доказательство, что они равны ВСЕГДА, а мой препод ошибся?

По дате

По рейтингу

filin_577

Новичок

3г

Твой преподаватель не ошибся. Но это большая редкость. Пример подобного рода ходит из учебника в учебник. Вот этот пример:
z(x,y) = xy*(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2), if x^2 + y^2 ≠ 0; z(0;0) = 0. Тогда
∂^2z/∂x∂y(0;0) =1 ≠ -1 = ∂^2z/∂y∂x(0;0).