Математика. Найти пары чисел

Пусть числа равны x и y. Тогда по условию задачи у нас есть два уравнения:

xy = x + y

4xy = x^2 + 2xy + y^2

Первое уравнение можно переписать в виде:

xy - x - y = 0

Применим к этому уравнению метод Виета для квадратных уравнений с двумя корнями:

x и y являются корнями уравнения t^2 - t(x+y) + xy = 0

Отсюда получаем, что x и y являются корнями уравнения:

t^2 - t(x+y) + xy = 0

t^2 - t(x+y) + xy = 0

t^2 - t(x+y) + (x+y) = 0

(t-x)(t-y) = 0

Отсюда следует, что либо x = t, либо y = t.

Если x = t, то из первого уравнения получаем:

tx = t + x

x(t-1) = t

x = t/(t-1)

Аналогично, если y = t, то из первого уравнения получаем:

ty = t + y

y(t-1) = t

y = t/(t-1)

Таким образом, мы получили, что x и y равны между собой и равны золотому сечению (φ = (1+√5)/2) и обратному золотому сечению (1/φ = (√5-1)/2).

Проверим, что эти значения удовлетворяют второму уравнению:

4xy = 4φ^2 = 2(3+√5)

x^2 + 2xy + y^2 = (φ^2 + 2φ^2 + 1/φ^2) = (5 + 2√5)

2(3+√5) = 5 + 2√5

Таким образом, мы получили две пары чисел: (φ, φ) и (1/φ, 1/φ).