Уравнение математика ЕГЭ
Всем привет, подскажите пожалуйста, как решается уравнение
cosx-sinx+1+2sinxcosx=0
cosx - sinx + 1 + 2sinxcosx = 0
1 + 2sinxcosx = sinx - cosx
1 + sin2x = sinx - cosx
возводим в квадрат обе части уравнения при условии, что sinx>=cosx:
(sin2x + 1)² = (sinx - cosx)²
sin²2x + 2sin2x + 1 = sin²x - 2sinxcosx + cos²x
sin²2x + 2sin2x + 1 = 1 - sin2x
sin²2x + 3sin2x = 0
sin2x (sin2x + 3) = 0
[ sin2x = -3 — нет решений
[ sin2x = 0
2х = pin
X = pin/2, где n€Z
Учитывая, что sinx >= cosx:
Х = pi/2 + 2pin, n€Z
X = pi + 2pik, k€Z
б) подходят:
-7pi/1, -5pi, -11pi/2
Переносим все члены уравнения в одну часть:
cosx∗(2sinx−1)+1=0
Разделяем уравнение на cosx:
(2sinx−1)+1/cosx=0
Заменяем (2sinx−1) на t:
t+1/cosx=0
Решаем полученное уравнение относительно t:
t
2
+1=0
t=−1 или t=1/cosx
Возвращаемся к замене (2sinx−1):
2sinx−1=−1 или 2sinx−1=1/cosx
Решаем полученные уравнения относительно sinx:
sinx=−1/2 или sinx=1/√(2cos
2
x−1)
Подставляем найденные значения sinx обратно в исходное уравнение:
cosx∗(−1/2−1)+1=0 или cosx∗(1/√(2cos
2
x−1)−1)+1=0
Решаем полученные уравнения относительно cosx:
cosx=−1/2 или cosx=±√(2cos
2
x−1)
Таким образом, уравнение имеет два корня: x
1
=π/2+πn, x
2
=(−1)
n
∗π/6+πn, где n∈Z.
Ну вот решили уже
