Не знаю что с моими лёгкими

"Почему изначально такой набор лекарств?" Наверное, потому что у нас до сих пор нет официального запрета на гомеопатию, хотя РАН признала её лженаукой. Сразу нужно задавать вопросы врачу, по диагнозу и по препаратам. Я не знаю, обязаны ли врачи отвечать на все вопросы пациента, у них и так мало времени на приём и много бумажной работы. Но пациент имеет право ознакомиться с планом лечения. В крайнем случае Вы можете дома посмотреть информацию по препаратам в интернете, прежде чем идти в аптеку. Если врач чем-то не устраивает, обращаться к другому.
Сделайте цифровой рентген в двух проекциях с выдачей не только описания, но и самих снимков. Если будет усиление лёгочного рисунка (см. в описании), скорее всего, в этом и есть причина кашля. Это остаточные явления. Они могут проходить долго - до нескольких месяцев. Главное пролечиться полностью, чтобы не перешло в хронь и не появились осложнения. В аптеке Вам назначили хороший препарат на основе карбоцистеина, есть ещё похожие лекарства с немного другим действием – на основе ацетилцистеина. Ещё есть сиропы от кашля, например, Пертуссин, Гербион, Лазолван, а также грудные сборы. Это лекарства, а не сомнительные БАДы или гомеопатия. Но прежде чем что-либо пить, посоветуйтесь с врачом или в аптеке. Пока сохраняется кашель, важно не переохлаждаться, не пить холодное или слишком горячее, не дышать пылью и т. д. От алкоголя лучше полностью отказаться.
Если на рентгене будет чисто, то может быть трахеит - его не видно ни на рентгене, ни при осмотре, диагноз ставится по жалобам пациента, лечится антибиотиками. Это надо решать с врачом.
"Мокрота с носа" - может быть постназальный затёк. Это не болезнь, а синдром, у которого должна быть причина. В любом случае желательно показаться ещё и лору.
Также это может быть желудочный или сердечный кашель. И постназальный затёк может быть в том числе от рефлюкса.