Сумма последовательных р натуральных чисел равна 2025. Укажите все возможные такие ряды.

Для удобства обозначим такой ряд не от n до n + p - 1, а от n + 1 до p.
Тогда сумма ряда, очевидно, равна pn + сумма всех чисел от 1 до p, что по известной формуле составляет p(p + 1)/2. Итоговая сумма равна, таким образом, p(n + (p + 1)/2), а с другой стороны она же по условию равна 2025.
Приравняем и умножим на 2, получим уравнение:

p(2n + p + 1) = 2*2025,

которое надо решить в натуральных числах. При этом левая часть уже разложена на множители, значит, для начала нужно найти все делители правой части. И тут используем то, что 2025 = 45^2, а 45 = 9*5 = 3^2*5, т.е. 2*2025 = 2*3^4*5^2. По теореме о количестве делителей у этого числа столько делителей: (1 + 1)*(4 + 1)*(2 + 1) = 2*5*3 = 30. Они выписаны в таблице

Чтобы получить каждый делитель, нужно перемножить числа, стоящие в заголовках соответствующей строки и столбца. Это все возможные значения, которые может принимать, допустим, p. Соответствующие значения второго делителя (скобки 2n + p + 1 = b) найдём, разделив 2*2025 на p:

Но нас интересуют не все значения b. Есть ограничение на n >=0. Отсюда 2n = b - (p + 1) >= 0, т.е. b >= p + 1. Все допустимые значения b выделены в этой таблице.

Осталось по указанной формуле составить таблицу для значений n:

Таким образом, всего существует 15 таких рядов, включая и ряд, состоящий из одного числа. Каждый ряд получается, если в качестве первого его члена взять n + 1, где n - любое число из синей таблицы, а в качестве последнего члена - n + p, где p - число, находящееся в аналогичном месте жёлтой таблицы. Количество членов будет равно p. Для удобства, представим здесь все эти ряды:

1) 2025; p = 1
2) 1012 + 1013; p = 2
3) 403 + 404 + 405 + 406 + 407; p = 5
4) 198 + 199 + 200 + … + 207; p = 10
5) 69 + 70 + 71 + … + 93; p =25
6) 16 + 17 + 18 + … + 65; p =50
7) 674 + 675 + 676; p =3
8) 335 + 336 + 337 + 338 + 339 + 340; p = 6
9) 128 + 129 + 130 + … + 142; p = 15
10) 53 + 54 + 55 + … + 82; p =30
11) 221 + 222 + 223 + … + 229; p =9
12) 104 + 105 + 106 + … + 121; p =18
13) 23 + 24 + 25 + … + 67; p = 45
14) 62 + 63 + 64 + … + 88; p = 27
15) 11 + 12 + 13 + … + 64; p = 54