Как связана первообразная и площадь под графиком?
Перелистал пару книг по матану и так и не понял до конца, вот мы говорил что опр. интеграл от какой то функции это площадь под ней, либо же разность первообразных. Вопрос в том, как связана первообразная и площадь? Та же интегральная сумма, почему она равна интегралу? Почему конкретно нужно найти функцию, которая при дифференцировании дала функцию под интегралом?
Очень хотелось бы получить какое то объяснение-доказательство, либо получить ссылки на ресурсы на которых я могу его найти, заранее спасибо
1) Рассмотрим int [a;x] f(t)dt по промежутку [a;x[. Если изменять х, то получится
функция F(x)= int [a;x] f(t)dt.
2) Нетрудно доказать, исходя из определению производной, что производная
от F(x) по x равна f(x). Значит, F(x) - одна из первообразных для .f(x).
3) F(b)= int [a;b] f(t)dt, очевидно, F(a)=0,
Поэтому F(b) - F(a) = int [a;b] f(t)dt,
4) Эта же формула справедлива и для любой первообразной для f(x)m потому что все первообразные отличаются друг от друга на постоянную добавку.
Первообразная функции связана с площадью под графиком функции следующим образом: определённый интеграл функции от a до b равен разности значений первообразной функции в крайних точках a и b. Таким образом, площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна определённому интегралу функции на заданном отрезке.
Чувак, неопределенный интеграл и определенный интегралы связаны между собой основной теоремой анализа - т.е. формулой Ньютона-Лейбница. Перед ее док-вом доказывают лепму об общем виде первообразной.
Если тебя такие слова сшибают с ног, то начни с определений определенного и неопределенного интегралов.
Нахождение неопределенного интеграла - операция, обратная нахождению производной.
А определенный интеграл (Римана) - это про предел интегральных сумм при диаметре разбиения -> 0 (его еще можно ввести эквивалентно через верхние/нижние суммы Дарбу). Определенный интеграл и связан с площадями криволинейных трапеций.
Открой учебник и учись нормально!!! Че ты прикалываешься!!