Отрицательные числа в бинарной системе

Отрицательные числа в бинарной системе обычно представляются с использованием дополнительного кода (two's complement). Это метод, который позволяет выполнять арифметические операции с отрицательными числами так же просто, как и с положительными, без необходимости отдельного знакового бита.

Как работает дополнительный код:

Определение разрядности: Выбирается фиксированное количество бит для представления чисел. Например, 4 бита.

Представление положительного числа: Положительные числа представляются как обычно в двоичной системе.

Получение отрицательного числа:

Инвертирование битов: Меняем каждый бит числа на противоположный (0 становится 1, 1 становится 0).
Добавление 1: К результату инвертирования добавляем 1.
Пример для числа 2 в 4-битной системе:

Положительное число 2:

Двоичное представление: 0010
Инвертирование битов:

0010 → 1101
Добавление 1:

1101 + 1 = 1110
Полученное число 1110 представляет -2 в 4-битной системе.

Почему 10 в 2-битной системе представляет -2:

В 2-битной системе диапазон чисел в дополнительном коде составляет от -2 до 1:

00 → 0
01 → 1
10 → -2
11 → -1
Объяснение:

Знаковый бит: В двоичном числе самый левый бит является знаковым. Если он равен 0, число положительное; если 1 — отрицательное.
Для 10:
Знаковый бит 1 (отрицательное число).
Остальные биты: 0.
Чтобы найти значение, выполняем следующие шаги:
Инвертируем биты (кроме знакового): 0 → 1
Добавляем 1: 1 + 1 = 10 (в двоичной системе)
Получаем значение 2, но поскольку исходное число было отрицательным (знаковый бит 1), итоговое значение -2.
Почему это не 2:

В 2-битной системе максимальное положительное число, которое можно представить, это 01 (то есть 1). Число 10 с знаковым битом 1 представляет отрицательное число.

Важно: В дополнительном коде нет отдельного бита для знака. Вместо этого самый старший бит влияет на диапазон представляемых чисел.

Итог:

10 в 2-битной системе дополнительного кода представляет -2.
При использовании метода "инвертирование +1" для получения отрицательного числа важно учитывать разрядность системы.
Дополнительный код позволяет представлять отрицательные числа и выполнять арифметические операции без дополнительных правил.
Рекомендации для лучшего понимания:

Используйте большее количество бит: В практических приложениях обычно используют 8, 16, 32 или 64 бита, что позволяет представлять больший диапазон чисел.
Практикуйтесь с примерами: Попробуйте самостоятельно преобразовать числа в дополнительный код в разных разрядностях.
Понимайте ограничения разрядности: Всегда учитывайте, что максимальные и минимальные значения зависят от количества битов в системе.

В бинарной системе, как и в десятичной, есть разные способы записи отрицательных чисел. Просто в десятичной системе у людей обычно применяется прямой код со знаковым разрядом, а у компьютеров в двоичной системе - дополнительный код.