Нужна помощь с математикой

Анализ задачи

Пусть случайная величина XX обозначает количество вызовов (не более 4), которые радист делает до принятия вызова корреспондентом или до исчерпания 4 попыток, если вызов так и не принят.

Вероятность того, что вызов будет принят, равна p=0,4p=0,4.
Соответственно, вероятность того, что вызов не будет принят, равна q=1−p=0,6q=1−p=0,6.

Так как каждый следующий вызов совершается только в случае непринятия предыдущего, величина XX фактически описывает «усечённую» геометрическую схему: максимум совершается 4 вызова.

Таким образом,

X=1X=1 происходит, если первый вызов сразу принят:
P(X=1)=p=0,4.
P(X=1)=p=0,4.

X=2X=2 происходит, если первый вызов не приняли, а второй приняли:
P(X=2)=q p=0,6×0,4=0,24.
P(X=2)=qp=0,6×0,4=0,24.

X=3X=3 происходит, если первые два вызова не приняли, а третий приняли:
P(X=3)=q2 p=0,62×0,4=0,144.
P(X=3)=q2p=0,62×0,4=0,144.

X=4X=4 наступает в двух случаях:
Если не приняли первые три вызова, но приняли четвёртый;
Если все четыре вызова не были приняты (то есть мы «дошли» до четвёртого вызова и он тоже не принят).

Значит
P(X=4)=q3 p  +  q4=0,63×0,4  +  0,64.
P(X=4)=q3p+q4=0,63×0,4+0,64.

Вычислим:

0,63=0,2160,63=0,216, тогда 0,216×0,4=0,08640,216×0,4=0,0864.
0,64=0,12960,64=0,1296.

Следовательно,
P(X=4)=0,0864+0,1296=0,216.
P(X=4)=0,0864+0,1296=0,216.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1:
0,4+0,24+0,144+0,216=1.
0,4+0,24+0,144+0,216=1.

Итак, искомый закон распределения:
{P(X=1)=0,40,P(X=2)=0,24,P(X=3)=0,144,P(X=4)=0,216.
⎩
⎨
⎧​P(X=1)=0,40,P(X=2)=0,24,P(X=3)=0,144,P(X=4)=0,216.​

Числовые характеристики

Математическое ожидание M(X)M(X)

M(X)=1⋅0,40+2⋅0,24+3⋅0,144+4⋅0,216.
M(X)=1⋅0,40+2⋅0,24+3⋅0,144+4⋅0,216.

Выполним поэлементно:

1×0,40=0,401×0,40=0,40,
2×0,24=0,482×0,24=0,48,
3×0,144=0,4323×0,144=0,432,
4×0,216=0,8644×0,216=0,864.

Сумма:
M(X)=0,40+0,48+0,432+0,864=2,176.
M(X)=0,40+0,48+0,432+0,864=2,176.

Второй момент M(X2)M(X2)

M(X2)=12⋅0,40+22⋅0,24+32⋅0,144+42⋅0,216.
M(X2)=12⋅0,40+22⋅0,24+32⋅0,144+42⋅0,216.

Подсчитаем:

12×0,40=0,4012×0,40=0,40,
4×0,24=0,964×0,24=0,96,
9×0,144=1,2969×0,144=1,296,
16×0,216=3,45616×0,216=3,456.

Сложим:
M(X2)=0,40+0,96+1,296+3,456=6,112.
M(X2)=0,40+0,96+1,296+3,456=6,112.

Дисперсия D(X)=M(X2)−[M(X)]2D(X)=M(X2)−[M(X)]2

D(X)=6,112  −  (2,176)2.
D(X)=6,112−(2,176)2.

Вычислим (2,176)2(2,176)2 примерно:
2,176×2,176≈4,735(округляя).
2,176×2,176≈4,735(округляя).

Тогда:
D(X)=6,112−4,735=1,377(примерно).
D(X)=6,112−4,735=1,377(примерно).

Среднее квадратическое отклонение σ(X)=D(X)σ(X)=D(X)

​

σ(X)≈1,377≈1,175.
σ(X)≈1,377
​≈1,175.

Мода Mo⁡(X)Mo(X)

Модой называется значение случайной величины, при котором достигается наибольшая вероятность. Смотрим на вероятности:
P(X=1)=0,40,P(X=2)=0,24,P(X=3)=0,144,P(X=4)=0,216.
P(X=1)=0,40,P(X=2)=0,24,P(X=3)=0,144,P(X=4)=0,216.

Наибольшая вероятность 0,400,40 при X=1X=1. Следовательно, Mo⁡(X)=1Mo(X)=1.
Ответ

Закон распределения XX (число вызовов, не более 4):

P(X=1)=0,40,P(X=2)=0,24,P(X=3)=0,144,P(X=4)=0,216.
P(X=1)=0,40,P(X=2)=0,24,P(X=3)=0,144,P(X=4)=0,216.

Математическое ожидание:

M(X)=2,176.
M(X)=2,176.

Дисперсия:

D(X)≈1,377.
D(X)≈1,377.

Среднее квадратическое отклонение:

σ(X)≈1,175.
σ(X)≈1,175.

Мода:

Mo(X)=1.
Mo(X)=1.