Математика. Параметры. Уравнение 4 степени

4x⁴ + 2x³ - 2x²a + x² + a² - 2ax + 1 = 0

Сгруппируем члены с переменной ‘a’ и члены без ‘a’:

4x⁴ + 2x³ + x² + 1 + a² - 2ax - 2x²a = 0

Теперь сгруппируем члены с переменной ‘a’:

4x⁴ + 2x³ + x² + 1 + a² - 2a(x + x²) = 0

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно ‘a’:

a² - 2(x + x²)a + (4x⁴ + 2x³ + x² + 1) = 0

Для того чтобы это уравнение имело действительные решения относительно ‘a’, дискриминант должен быть неотрицательным (D ≥ 0). Дискриминант для квадратного уравнения вида Aa² + Ba + C = 0 равен D = B² - 4AC. В нашем случае: A = 1 B = -2(x + x²) C = 4x⁴ + 2x³ + x² + 1

Считаем дискриминант:

D = (-2(x + x²))² - 4 * 1 * (4x⁴ + 2x³ + x² + 1) D = 4(x² + 2x³ + x⁴) - 16x⁴ - 8x³ - 4x² - 4 D = 4x² + 8x³ + 4x⁴ - 16x⁴ - 8x³ - 4x² - 4 D = -12x⁴ - 4

Мы получили, что дискриминант D = -12x⁴ - 4.

Поскольку x⁴ всегда неотрицательно (x⁴ ≥ 0), то -12x⁴ всегда неположительно (-12x⁴ ≤ 0). Следовательно, -12x⁴ - 4 всегда отрицательно.

D = -12x⁴ - 4 < 0

Так как дискриминант отрицателен при любом x, то квадратное уравнение относительно ‘a’ не имеет действительных решений. Это означает, что для любого x нет такого действительного значения ‘a’, чтобы уравнение выполнялось.

Следовательно, исходное уравнение 4x⁴ + 2x³ - 2x²a + x² + a² - 2ax + 1 = 0 не имеет решений при любых действительных ‘a’.

Вывод: Уравнение не имеет решений при любых значениях ‘a’. :)