2 мин на решение дано
На заключительный этап олимпиады по криптографии прошло одиннадцатиклассников на 600 человек больше, чем десятиклассников. Программистов - одиннадцатиклассников в 5 раз больше, чем программистов - десятиклассников. Математиков-одиннадцатиклассников больше, чем математиков-десятиклассников в m раз (m больше либо равно 6, но меньше либо равно 12, m - натуральные числа). Чему равно общее число школьников, прошедших на заключительный этап олимпиады по криптографии, если математиков-десятиклассников на 20 больше, чем программистов-десятиклассников
Обозначим:
x
x — количество десятиклассников.
y
y — количество одиннадцатиклассников, тогда
y
=
x
+
600
y=x+600.
Пусть:
p
p — количество программистов-десятиклассников.
Тогда количество программистов-одиннадцатиклассников будет
5
p
5p.
Пусть:
m
d
m
d
— количество математиков-десятиклассников.
Тогда количество математиков-одиннадцатиклассников будет
m
⋅
m
d
m⋅m
d
, где
m
m — коэффициент, который варьируется от 6 до 12.
Согласно условию, у нас есть:
m
d
=
p
+
20
m
d
=p+20
Теперь подставим это значение в уравнение для одиннадцатиклассников:
y
=
5
p
+
m
⋅
m
d
=
5
p
+
m
(
p
+
20
)
y=5p+m⋅m
d
=5p+m(p+20)
Также знаем, что:
y
=
x
+
600
y=x+600
Теперь подставим
y
=
x
+
600
y=x+600 и
x
=
2
p
+
20
x=2p+20 в уравнение:
(
2
p
+
20
)
+
600
=
5
p
+
m
(
p
+
20
)
(2p+20)+600=5p+m(p+20)
Упрощаем:
2
p
+
620
=
5
p
+
m
p
+
20
m
2p+620=5p+mp+20m
0
=
5
p
+
m
p
−
2
p
−
20
−
20
m
+
620
0=5p+mp−2p−20−20m+620
0
=
(
3
+
m
)
p
+
600
−
20
m
0=(3+m)p+600−20m
Теперь выразим
p
p:
(
3
+
m
)
p
=
20
m
−
600
(3+m)p=20m−600
p
=
20
m
−
600
3
+
m
p=
3+m
20m−600
Теперь подберем значения
m
m от 6 до 12, чтобы
p
p было натуральным числом:
Для
m
=
6
m=6:
p
=
20
⋅
6
−
600
3
+
6
=
120
−
600
9
=
−
480
9
(не подходит)
p=
3+6
20⋅6−600
=
9
120−600
=
9
−480
(не подходит)
Для
m
=
7
m=7:
p
=
20
⋅
7
−
600
3
+
7
=
140
−
600
10
=
−
460
10
(не подходит)
p=
3+7
20⋅7−600
=
10
140−600
=
10
−460
(не подходит)
Для
m
=
8
m=8:
p
=
20
⋅
8
−
600
3
+
8
=
160
−
600
11
=
−
440
11
(не подходит)
p=
3+8
20⋅8−600
=
11
160−600
=
11
−440
(не подходит)
Для
m
=
9
m=9:
p
=
20
⋅
9
−
600
3
+
9
=
180
−
600
12
=
−
420
12
(не подходит)
p=
3+9
20⋅9−600
=
12
180−600
=
12
−420
(не подходит)
Для
m
=
10
m=10:
p
=
20
⋅
10
−
600
3
+
10
=
200
−
600
13
=
−
400
13
(не подходит)
p=
3+10
20⋅10−600
=
13
200−600
=
13
−400
(не подходит)
Для
m
=
11
m=11:
p
=
20
⋅
11
−
600
3
+
11
=
220
−
600
14
=
−
380
14
(не подходит)
p=
3+11
20⋅11−600
=
14
220−600
=
14
−380
(не подходит)
Для
m
=
12
m=12:
p
=
20
⋅
12
−
600
3
+
12
=
240
−
600
15
=
−
360
15
(не подходит)
p=
3+12
20⋅12−600
=
15
240−600
=
15
−360
(не подходит)
Каждое из значений
m
m не дает натурального числа
p
p. Похоже, что в условии задачи есть ошибка.
Пусть:
• x - количество десятиклассников, прошедших на заключительный этап.
• x + 600 - количество одиннадцатиклассников, прошедших на заключительный этап.
• y - количество программистов-десятиклассников.
• 5y - количество программистов-одиннадцатиклассников.
• y + 20 - количество математиков-десятиклассников.
• m(y + 20) - количество математиков-одиннадцатиклассников (где 6 ≤ m ≤ 12, m - целое число).
Общее число школьников, прошедших на заключительный этап:
x + (x + 600) = 2x + 600
Чтобы найти 2x + 600, нужно найти x. Но мы не можем найти точное значение x из имеющейся информации. Мы знаем только зависимость математиков и программистов. Мы также знаем, что все они десятиклассники и одиннадцатиклассники, прошедшие на заключительный этап олимпиады.
x >= y + (y+20) => x >= 2y+20
x+600 >= 5y + m(y+20) => x+600 >= 5y + my+20m => x+600 >= (5+m)y + 20m
Эти уравнения не позволяют получить точное значение х.
x = y + (y+20) = 2y+20
x + 600 = 5y + m(y+20)
Подставим первое уравнение во второе:
2y+20 + 600 = 5y + my + 20m
620 + 2y = (5+m)y + 20m
620-20m = (3+m)y
y = (620-20m)/(3+m) = 20(31-m)/(3+m)
Так как y должно быть целым числом, и m - целое число в диапазоне [6,12], нужно найти такие значения m, чтобы 31-m делилось на 3+m без остатка.
Попробуем перебрать значения m:
m = 6: y = 20(31-6)/(3+6) = 20×25/9 - не целое
m = 7: y = 20(31-7)/(3+7) = 20×24/10 = 48
m = 8: y = 20(31-8)/(3+8) = 20×23/11 - не целое
m = 9: y = 20(31-9)/(3+9) = 20×22/12 - не целое
m = 10: y = 20(31-10)/(3+10) = 20×21/13 - не целое
m = 11: y = 20(31-11)/(3+11) = 20×20/14 = 200/7 - не целое
m = 12: y = 20(31-12)/(3+12) = 20×19/15 - не целое
При m=7, y=48. Тогда:
x = 2y+20 = 2×48+20 = 96+20 = 116
общее число школьников = 2x + 600 = 2×116 + 600 = 232+600 = 832
Ответ:
Общее число школьников, прошедших на заключительный этап олимпиады по криптографии, равно 832.
Обозначим количество десятиклассников, прошедших на заключительный этап олимпиады по криптографии, как x. Тогда количество одиннадцатиклассников будет x+600.
Пусть количество программистов-десятиклассников равно y. Тогда количество программистов-одиннадцатиклассников будет 5y.
Количество математиков-десятиклассников на 20 больше, чем программистов-десятиклассников, то есть y+20. Количество математиков-одиннадцатиклассников в m раз больше, чем математиков-десятиклассников, то есть m(y+20).
Общее количество школьников, прошедших на заключительный этап олимпиады, можно выразить следующим образом:
x+(x+600)+y+5y+(y+20)+m(y+20)
Упростим это выражение:
2x+600+7y+20+m(y+20)
2x+620+7y+my+20m
2x+7y+my+620+20m
2x+(7+m)y+620+20m
Так как m — натуральное число, удовлетворяющее условию 6≤m≤12, мы можем подставить различные значения m и вычислить общее количество школьников.
Например, если m=6:
2x+(7+6)y+620+20⋅6
2x+13y+620+120
2x+13y+740
Если m=12:
2x+(7+12)y+620+20⋅12
2x+19y+620+240
2x+19y+860
Таким образом, общее количество школьников зависит от значений x и y, а также от m. Для конкретного значения m можно вычислить общее количество школьников, подставив соответствующие значения x и y.
Ответ: Общее количество школьников зависит от x, y и m, и может быть вычислено по формуле 2x+(7+m)y+620+20m.
нет
