Нахождение площади криволинейной трапеции

№ 1.1 Область под y = x² от x = 0 до x = 1

S = ∫₀¹ x² dx = ⟮x³∕3⟯∣₀¹ = ⅓.

№ 1.2 Область под y = 4x − x² от x = 0 до x = 5

‒ До корня x = 4 кривая находится выше оси OX, после — ниже.

‒ Поэтому берём абсолютную величину интеграла:

S = ∫₀⁴ (4x − x²) dx + ∫₄⁵ (x² − 4x) dx

  = ⟮2x² − x³∕3⟯₀⁴ + ⟮x³∕3 − 2x²⟯₄⁵

  = 32∕3 + 7∕3 = 13.

№ 4.1 Область под y = 4x − x² − 3 от x = 1 до x = 3

S = ∫₁³ (4x − x² − 3) dx

  = ⟮2x² − x³∕3 − 3x⟯₁³

  = 0 − (−4∕3) = 4∕3.

№ 4.2 Область, заданная y = sin x

‒ положительный «холм» от 0 до π;

‒ отрицательный участок от π до 3π∕2.

S = ∫₀^π sin x dx − ∫_π^{3π∕2} sin x dx

  = [−cos x]₀^π − [−cos x]_π^{3π∕2}

  = (1 + 1) + (0 − (−1)) = 2 + 1 = 3.