Как на английском сказать "бюджетное место" и "платное место" в университете..?

budget place будет типа бесплатное место а платное платное paid spot вот и вся премудрость

Ближайшим аналогом на английском будет tuition-free scholarship. Он покрывает обучение (то есть бюджет), за исключением жилья, питания и т.п. Full-ride scholarship (полный бюджет) - слишком "щедрый" аналог для большинства российских бюджетных мест (обучение + жильё + питание + книги + проезд и иногда даже личные расходы). В России такое бывает разве что в рамках отдельных грантов или олимпиад — и то редко.
Разграничить два понятия в переводе можно так:
- tuition-free spot and fee-paying spot
- publicly-funded/governmet-funded spot vs privately-funded/self-funded spot

• студент-бюджетник (не отражено в словарях) - tuition-free student

• поступить на бюджет - to be admitted/enrolled/to enter on a tuition-free basis

• учиться на бюджете/платном - study on a tuition-free basis (или: study free)/on a fee-paying basis (to be a self-funded student)

Примеры:
You can apply for a TUITION-FREE PLACE at one of our partner universities. Places are limited and we prioritise students from low-income households for these spots, but if you aren’t awarded a place you can still apply for a programme and pay tuition fees to participate. [Uniersity of Bristol, выдержка из программы Summer Abroad]
В Великобритании чаще используется термин BURSARY, особенно когда речь идёт о поддержке студентов из нуждающихся слоёв или финансировании на уровне undergraduate, в том числе в медицине, педагогике и социальных науках.

Показательный пример:
"A student satisfying the associated immigration and residence requirements will be entitled to either a full bursary or a fees-only bursary." Здесь full bursary a) покрывает всё: обучение + проживание +, возможно, другие расходы (аналог американизма full-ride scholarship). Fees-only bursary покрывает только обучение (tuition), аналог "бюджетного места" в российском смысле (если без учёта стипендии).
Близким аналогом "бюджета без стипендии" является FEE WAIVER (освобождение от платы) = студент учится бесплатно, но не получает денег от вуза. В документах официально-делового стиля часто заменяют на: tuition waiver, tuition-free study, waived tuition fees. Пример:
We are offering a fee waiver scheme (subject to availability) to support students who would not otherwise have access to higher education (то есть освобождаются от уплаты по
социальным критериям).

В американской системе: бюджетное место без стипендии - tuition-free / tuition waiver; бюджет + стипендия/общежитие - full-ride scholarship (обычно даётся за высокие академические, спортивные или иные заслуги); контрактное место - self-funded / tuition-paying (всё оплачивает сам студент (или его семья/спонсор))
Примеры:
"She attends a tuition-free program at a public university." (Не покрывает жизнь, жильё и питание.)
"He received a full-ride to Stanford."
Важный нюанс: В США "бюджетных мест" как системной категории нет. Студент либо сам оплачивает (и может брать студенческие кредиты), либо получает финансовую помощь (grants, scholarships, fee waivers).
*** Budgetary и budget употребляется лишь для передачи значения 'относящийся к бюджету' (особенно государственному) в таких сочетаниях: budget deficit - бюджетный дефицит; бюджетные ограничения - budgetary constraints; сокращение/урезание бюджетных расходов на учебные заведения - cuts in school budgets (или: in government spending on schools)
Вариант "PAID PLACE" двусмыслен и вызывает ассоциации с высокооплачиваемой должностью (a well-paid job/position). Это может быть воспринято как "оплачиваемое место" — то есть где тебе платят, а не ты (студент) платишь.

бюджетное - state-funded place
платное - paid place

по поводу платного умнее ничего не приходит на ум

budgetary position (place)