Как починить сломанное гнездо для зарядки на этой колонке? Или можно зарядить другими способами?

выпаять старое, впаять новое

отнести в мастерскую, где мобильники ремонтируют

1. "Как починить" - вскрыть, оценить состояние разъема и платы. Если просто отвалилась пайка - нанести флюс, залудить и припаять на место. Если оторваны дорожки - то см. второй пункт.

2. "как зарядить" - по уму, чтоб не бабахнуло - только через разъем для зарядки. Если от него ничего не осталось - подпаяйся к плате ( куда вели дорожки от разъема) - да и врежь прям в корпус новый, другой разъем. Ищи " DC разъем на корпус" , гугл в помощь.

Не вздумай подпаиваться напрямую к аккумулятору! Бабахнет. Нужно строго через контроллер заряжать.

Как разбираются подобные колонки: либо они на клею, либо на защелках, либо, чаще всего: шурупы скрыты под декоративную решетку динамика. Поддень шилом и сними решетку.

Хотя у тебя сама панель как вижу отдельно снимается с корпуса.

Вариант "заменить гнездо на новое" не рассматриваете по религиозным соображениям?

Если у вас в машине колесо лопнет, что будете делать - ставить запаску и ехать в шиномонтаж, или спрашивать здесь, как научиться ездить на трёх колёсах?