Можно ли получить статус "отец-одиночка" при живой матери, НЕ лишенной родительских прав?

естественно, нельзя. какая разница с кем ребенок проживает

проживание ребенка у одного из родителей не дает этому родителю статуса одиночка
ни отцу, ни матери

Статус "одиночки" имеет единственный родитель. Даже если бы мать была лишена родительских прав, она есть и обязанности родительские у нее сохраняются.