Вопросы по базису векторного пространства

Question

Вопросы по базису векторного пространства

l ol Мыслитель (6901), на голосовании 1 месяц назад

Начнем с мотивации определения. Как я понимаю, мы хотим научиться раскладывать любой вектор в линейную комбинацию других. Будет круто, если такое разложение будет единственным. Итак, мы сформулировали новое понятие:

Базис векторного пространства - набор векторов, в виде линейной комбинации которых можно единственным образом представить любой вектор этого пространства.

Затем мы доказываем следующее утверждение:
Если для набора векторов l1,..,ln найдется набор чисел a1,..,an такой, что a1 l1+..+an ln = 0 и хотя бы одно из чисел а_i не нулевое, то набор векторов не является базисом. Доказывается так: 0=a1 l1+..+an ln = 0 l1+..+0 ln; т.е. разложение не единственно.

И загуглив в интернете определение базиса, мы увидим, что он определяется, как максимальный линейно-независимый набор. И вот вопрос. Как из первого определения получаем это? Я понимаю, что определение линейной зависимости мы взяли из предыдущего утверждения. Набор векторов просто не может быть ЛЗ, чтобы быть базисом. Но.. где другие условия? Мы проверили только нейтральный элемент на единственность разложения, внеся условие ЛНЗ. Почему у нас нет какого-то ещё условия? Как доказать, что эти условия достаточны для того, чтобы разложение было единственно? И почему именно МАКСИМАЛЬНЫЙ лнз набор сможет описать любой вектор пространства?

Честно, не знаю, почему только щас задумался. Может забыл уже линал

Answer 1

Требуется доказать два утверждения.
a) 1 => 2, линейная независимость
b) 1 => 2, максимальность (по включению - т.е. что при присоединении любого вектора к базису из определения 1 получаем линейно зависимую систему).

Начнем с a). От обратного - пусть наш набор линейно зависим. Тогда (по определению ЛЗ) найдется нетривиальная линейная комбинация векторов нашего набора, дающая нулевой вектор (нетривиальная = в которой хотя бы один из коэф. ненулевой). Обозначим эту линейную комбинацию буквой Ы.
Берем произвольный вектор нашего пр-ва, например, нулевой вектор в пространстве существует всегда - можно взять его. Раскладываем его по базису, согл. первому определению
нулевой вектор = линейная комбинация векторов базиса
Прибавляем к правой части Ы, получаем еще одну (уже другую) линейную комбинацию наших базисных векторов, дающую нулевой вектор. Получили противоречие с первым из ваших определений базиса.

b) Максимальность доказывается совсем просто - при присоединении вектора v к базису B мы получаем систему векторов B', в которой (в силу вашего определения базиза номер 1)
v = { линейная комбинация векторов из B }, или, что эквивалентно,
v - { линейная комбинация векторов из B } = нулевой вектор.
Слева у нас нетривиальная линейная комбинация векторов из B', справа нулевой вектор, значит, система векторов B' по определению линейно зависима, а потому (по доказанному в пункте a)) не является базисом.