Что значит фамильярничать?

Вообще фамильярность — это вольность, короткость в обращении как со «своим» с человеком, который не является вам близким другом.

Это, например, когда всех без разбору (даже людей, которых вы видите в первый раз) вы называете котиками и зайчиками, также к этому можно отнести "тыканье" в ситуациях когда нужно обращаться на "Вы" и прочее

Вобщем, фамильярным человеком можно назвать неуместно развязного, слишком непринужденного в общении и поведении, бесцеремонного человека.
В поведении, например, может выражаться неуместным похлопывание по плечу или спине.. .

Цитата для примера:
Ах, красавица моя! — «Что еще за красавица. Что за фамильярность! У меня есть имя и отчество. (Островскій. Без вины виноватые.)