решить 2 способами: интеграл sin(x)/cos^2(x)

Question

решить 2 способами: интеграл sin(x)/cos^2(x)

Дмитрий Рыжов Ученик (242), закрыт 11 лет назад

Answer 1

Так.
∫(sinx/cos²x) dx=-∫d(cosx)/cos²x=1/cosx+C

И так.
∫(sinx/cos²x) dx=∫(sinx/(1-sin²x))dx=∫(sinx/(1-sin²x))dx=

t=sinx => dx=dt/√(1-t²)

=∫(t/((1-t²)•√(1-t²))dt=
=-½•∫(1-t²)^(-3/2)d(1-t²)=(1-t²)^(-½)+C=
=1/√(1-sin²t)+C=1/cosx+C

Answer 2

Я бы предложил первый способ - замена переменных t = cos(x); dt = -sin(x)dx (см. предыдущий ответ) , а второй способ - по частям:
dV = sin(x)dx, тогда V = -cos(x)
В результате получаем:
∫(sin(x)/cos²(x) dx = -1/cos(x) + 2∫cos(x)*sin(x)/cos^3(x) dx + С = -1/cos(x) + 2∫(sinx/cos²x) dx + С
Откуда:
-∫(sin(x)/cos²(x) dx = -1/cos(x) + С
∫(sin(x)/cos²(x) dx = 1/cos(x) + С