Геометрический смысл дифференциала

Question

Геометрический смысл дифференциала

BrawlStarsLOLOLOl Профи (609), открыт 1 неделю назад

У меня возникли некоторые сомнения касательно моего понимания дифференциалов. Буду рад, если поможете ответить на несколько вопросов)

1) могут ли dx и dy существовать по отдельность? Просто на картинке dy определяется через dx. Не зная dx, мы не можем вычислить и dy.
2) В моем понимании dx - это по факту честное изменение икса, а dy - приближенное изменение игрика. Почему тогда обозначаются эти сущности одинаково? Я бы предпочел что-то такое: dx/Δx. Я чего-то не понимаю, или тут и правда путаница небольшая?
2) На картинке происходит дифференцирование по x, но в лекциях я вижу дифференцирование по другим переменным.

Если мы дифференцируем по y, то получается теперь dy - это честное изменение y, а dx - приближенное изменение x?
Еще я видел вот такую запись в лекции https://goo.su/HP71zS:

Я если честно вообще не понял, как можно дифференцировать по y', то есть как вообще воспринимать эту операцию.

Answer 1

1) Могут. Вопрос в том, зависимы ли эти величины. Если зависимы, то они просто выражаются друг через друга.
2) Если x и y - связанные величины, то dx и dy оказываются связанными. тут все зависит от способа рассмотрения. В общем случае среди них како-то "честного" или "первичного". Они в этом смысле равнозначны. Наиболее симметрично связь x и y можем написать так:
F(x, y) = 0.
Вы можете это переиначить и как x(y) и как y(x). А можете ничего не делать, и взять дифференциал прямо так:
Fx dx + Fy dy = 0.
Вы просто работаете в линейном приближении по приращениям, и "приближенным" оказывается то dx, то dy, то сразу оба. Но из-за отбрасывании всего кроме линейности за этим и не нужно следить.
3) Дифференцировать можно по чему угодно. Вообще не стоит думать об этом таким образом. Более того, даже если у вас диффур вида:
F(x, y, y') = 0,
вы можете привести его к симметричному виду:
A dx + B dy = 0,
или вообще начать искать x(y) вместо y(x):
F(x, y, 1/x') = 0.
PS: это, кстати, не особо-то имеет отношение к геометрическому смыслу)

Answer 2

1. Могут. dx и dy это так называемые дифференциальные 1- формы (своего рода функции).

Однако если рассматривать их в контексте функции как выше, y=f(x), то, естественно, они друг с другом связаны.

2. Кажется, ответ найдете здесь

3. Дифференцирование по y' означает, что y' рассматриваем как независимую переменную, то бишь НЕ как функцию от х.

В приведенном вами примере речь идет о теореме о неявной функции , которая гласит, что y можно локально выразить как функцию x: y=f(x) в некоторой окрестности точки (а,b), если F(x,y)=0,

(∂F/∂y)(a,b)≠ 0

(и если выполнено еще несколько других условий)

Чтобы лучше понять суть этой теорему, можете посмотреть, как она работает для функции F(x,y)= x²+y²-1 (окружность) :)